Banner world

 

 

     HOME 
  



     Books Web


     Books Printed  


     Health 


     Presentations


     Soul Drawings


     Video lectures 
     English


     Video lezingen 
     Dutch


     Positive Blog


     Curriculum writer


     Contact




     Side Index









Web design 
John Baselmans
 

Spatie

 
You can change this website in over 66 languages

 


 

"Het Energiniale leven, Vrijheid en Liefde"




Vrijheid en Liefde



2-5b Oneindige matrices

Het is ook mogelijk om matrices met oneindig veel rijen en/of kolommen te beschouwen ook 
al kan men een oneindig aantal objecten, uit de aard van de zaak, niet expliciet als een matrix 
opschrijven. Het enige dat telt, is dat voor elk element uit de verzameling die de rijen indiceert,
en elk element uit de verzameling die de kolommen indiceert, er een goed gedefinieerd 
element bestaat (de indexverzamelingen hoeven geen deelverzamelingen van de natuurlijke 
getallen te zijn). De belangrijkste operaties van optellen, aftrekken, scalaire vermenigvuldiging 
en transpositie kunnen probleemloos gedefinieerd worden, maar matrixvermenigvuldiging 
kan echter oneindige sommaties vereisen om de resulterende elementen te definiëren, en 
deze zijn in het algemeen niet gedefinieerd.

Als oneindige matrices worden gebruikt om lineaire afbeeldingen te beschrijven, kunnen 
alleen die matrices worden gebruikt waarvan alle kolommen een eindig aantal elementen 
ongelijk aan 0 hebben. Wil een matrix A een lineaire afbeelding f: V ? W beschrijven, dan 
moeten er voor beide ruimten bases worden gekozen. Dit betekent dat elke vector in de 
ruimte uniek geschreven kan worden als een eindige lineaire combinatie van basisvectoren. 
Nu beschrijven de kolommen van A de afbeeldingen door f van 
individuele basisvectoren van V in de basis van W, wat alleen zinvol is als deze kolommen 
slechts een eindig aantal elementen ongelijk aan 0 hebben. Er bestaat echter geen beperking 
op de rijen van A: in het product Av zijn er slechts een eindig aantal niet-nulzijnde coëfficiënten 
van v betrokken, zodat elk van zijn elementen, zelfs als deze worden gegeven als een 
oneindige som van de producten, slechts eindig veel termen ongelijk aan 0 betreffen en 
daarom goed zijn gedefinieerd. Bovendien komt dit neer op de vorming van een lineaire 
combinatie van de kolommen van A die effectief slechts een eindig aantal van hen betreft, 
vandaar dat het resultaat slechts een eindig aantal elementen ongelijk aan 0 heeft, omdat 
elk van deze kolommen slechts een eindig aantal elementen ongelijk aan 0 heeft. Men ziet 
ook dat producten van twee goedgedefinieerde matrices van het gegeven type weer van 
hetzelfde type zijn (op voorwaarde dat zoals gewoonlijk de kolom- en rij-indexverzamelingen 
overeenkomen) en overeenkomen met de samenstelling van lineaire afbeeldingen.

Oneindige matrices kunnen ook worden gebruikt om operatoren op Hilbert-ruimten te 
beschrijven. Hier komen convergentie- en continuďteitsvragen naar voren, die opnieuw 
resulteren in een aantal beperkingen, die moeten worden opgelegd. en in plaats daarvan 
worden de abstracte en meer krachtige instrumenten uit de functionaalanalyse gebruikt.



2-5c Lege matrices

Een lege matrix is een matrix, waarin het aantal rijen of kolommen (of beide) nul zijn. Een lege 
matrix heeft geen elementen, maar heeft wel een duidelijk omschreven aantal rijen en 
kolommen, die nodig zijn voor bijvoorbeeld de definitie van het matrixproduct. Dus als 
A een 3×0-matrix is en B een 0×3-matrix, dan is AB de 3×3-matrix (die overeenkomt met 
de nulafbeelding van een driedimensionale ruimte V op zichzelf die wordt verkregen als de 
samenstelling g \circ f van de unieke afbeelding f van V op een 0-dimensionale ruimte Z, 
gevolgd door de nulafbeelding g van Z terug op V), terwijl BA de 0-bij-0 matrix is 
(overeenkomend met de unieke afbeelding van Z op zichzelf die wordt verkregen als de 
samenstelling f \circ g). Er is geen gemeenschappelijke notatie voor lege matrices, maar 
in de meeste computeralgebrasystemen kan men lege matrices definiëren en kan men er 
mee rekenen. Merk op dat de determinant van de 0×0-matrix 1 is (en niet 0, wat op het 
eerste gezicht meer voor de hand zou liggen): de Leibniz-formule geeft deze waarde als 
een som over de unieke permutatie van de lege verzameling, met een leeg product als de 
term; de Laplace-expansie voor een 1×1-matrix maakt duidelijk dat de waarde van de 
0×0-minor als 1 moet worden genomen. Deze waarde is ook consistent met het feit dat 
de identiteitsafbeelding van enige eindigdimensionale ruimte op zichzelf determinant 
1 heeft, een feit dat vaak gebruikt wordt als onderdeel van de karakterisering van 
determinanten.



2-5d Transformaties

Matrices worden veel gebruikt bij berekeningen voor bijvoorbeeld het draaien, schalen en 
transleren van vormen in 2 of 3 dimensies. Draaien en schalen zijn lineaire operaties en 
kunnen dus direct door een matrix voorgesteld worden. Aangezien een translatie een affiene 
afbeelding is en dus niet lineair, maakt men voor een translatie gebruik van een extra 
dimensie door de betrokken vectoren voor te stellen met homogene coördinaten. De vormen, 
die bestaan uit een verzameling punten, vectoren, worden getransformeerd.



2-5e Geschiedenis

Men maakt bij het oplossen van lineaire vergelijkingen al heel lang gebruik van matrices. 
De Chinese tekst, De negen hoofdstukken van de wiskundige kunst (Jiu Zhang Suan Shu), 
die van tussen 300 v.Chr en 200 n.Chr dateert, is het eerste voorbeeld van het gebruik van 
matrixmethoden om een simultane vergelijkingen op te lossen. Hieronder valt ook het 
begrip determinant in de Chinese wiskunde, bijna 100 jaar vóór de publicatie van dit begrip 
door de Japanse wiskundige Seki in 1683 en de Duitse wiskundige Leibniz in 1693. 
Cramer presenteerde zijn regel van Cramer in 1750.

De vroege matrixtheorie benadrukte determinanten sterker dan matrices. Een onafhankelijk 
matrixbegrip, dat verwant is aan de moderne notie van een matrix, ontstond pas in 1858, 
met het werk van Cayley’s Memoir on the theory of matrices. De term “matrix” werd bedacht 
door Sylvester, die een matrix opvatte als een wiskundig object dat aanleiding geeft tot een 
aantal determinanten die vandaag de dag minoren worden genoemd, dat wil zeggen 
determinanten van kleinere matrices die voortvloeien uit het origineel of ook door het 
verwijderen van kolommen en rijen. Etymologisch is het woord “matrix” afkomstig uit het Latijn.

Bron wikipedia

Nu is dit een heel stuk geweest over de matrix in de wetenschap en je zult je afvragen 
waar dit naar toe moet gaan als je deze moeilijke termen op een rijtje ziet. Waar het naar 
toe gaat is dat ik jou wil laten zien hoe de wetenschap er alles om doet, dat wij mensen zo
min mogelijk begrijpen van de wereld waar wij in leven. We smijten met termen, zetten een 
onsamenhangend verhaal eromheen en daar heb je weer de zoveelste verklaring vanuit de 
hoek die de weg kwijt is. 

Doch ook hier zien we zaken zoals dit “Een lege matrix is een matrix, waarin het aantal rijen 
of kolommen (of beide) nul zijn” en dat zie ik dan niet wiskundig maar puur in de wereld waar 
alles iets is en kennelijk dus ook in de matrix. We zien ook hier dat “leeg zijn” dus ook een 
massa heeft. Net zoals we al eerder aangehaald hebben in de wereld van ons universum 
waar het zogenaamde lege gedeelte vele malen meer massa heeft dan het zichtbare 
tastbare gedeelte. 

Ik wil verder maar we gaan dit allemaal zeker nog doornemen en ik wil nu naar de wereld 
van “dimensies”. Weer zo’n woord wat men veel hoort maar waar men niet werkelijk mee 
weet om te gaan. Dat komt simpel omdat men de energie niet weet te pakken en mee te 
werken. Eenmaal in die energiewereld is elke dimensie een gewoon deel van je leven. 
Vergis je niet, je bent echt niet met één leven bezig.





NAAR HOOFDSTUK 19

 

 

 

"Being human is helping each other"


 

Please enjoy this site, learn the way of never-ending health and for living a better life 
by finding your path in a World of Positive Energy.

A special thanks for all the people who support this site.

 

Facebook icon
Twitter icon
Linkendin icon
google icon


Due to the many visitors on this website, we are experiencing some delays in answering.
Your e-mail will be processed in the order it was received, 
but if you get no response to your e-mail within 2 days please write/submit again.